Max-stabile Prozesse

Max-stabile Prozesse erweitern die mehrdimensionale Extremwerttheorie hin zum unendlichdimensionalen Fall. Ähnlich zum ein- und mehrdimensionalen Fall, tritt ein solcher Prozess als Grenzwert der Maxima von angemessen normalisierten unabhängigen Kopien eines stochastischen Prozesses auf.

Definition

Sei ${\displaystyle T}$ eine beliebige Indexmenge. Ein stochastischer Prozess ${\displaystyle X}$ heißt max-stabil, falls es Normalisierungskonstanten ${\displaystyle a_{n}(t)>0,b_{n}(t)\in \mathbb {R} }$ gibt, sodass für unabhängige Kopien ${\displaystyle X_{1},\dotsc ,X_{n}}$ des Prozesses ${\displaystyle X}$ gilt

${\displaystyle \left({\frac {\max _{i=1}^{n}X_{i}(t)-b_{n}(t)}{a_{n}(t)}},t\in T\right){\overset {d}{=}}(X(t),t\in T)}$.

Die eindimensionalen Randverteilungen eines max-stabilen Prozesses sind durch eine der drei univariaten Extremwertverteilungen gegeben. Im Falle von Fréchet-verteilten Rändern d. h. ${\displaystyle \mathbb {P} (X(t)\leq x)=e^{-1/x}}$ können die Normalisierungskonstanten wie folgt gewählt werden: ${\displaystyle a_{n}=n,b_{n}=0}$.

Allgemeines

Seien ${\displaystyle Y_{i},i=1,\dotsc ,n}$ unabhängige Kopien des stochastischen Prozesses ${\displaystyle Y}$. Gibt es nun Normalisierungskonstanten ${\displaystyle c_{n}(t)>0,d_{n}(t)\in \mathbb {R} }$, sodass gilt ${\displaystyle \max _{i=1}^{n}{\tfrac {Y_{i}(t)-d_{n}(t)}{c_{n}(t)}}\rightarrow X(t)}$ für ${\displaystyle n\to \infty }$ und ${\displaystyle t\in T}$ und der Prozess ${\displaystyle X}$ ist nicht degeneriert, so ist ${\displaystyle X}$ ein max-stabiler Prozess. Ein max-stabiler Prozess mit einfachen Fréchet-verteilten Rändern kann mithilfe seiner Spektraldarstellung konstruiert werden.

Einzelnachweise